Наука
 20K
 7 мин.

4 парадокса теории вероятностей

«Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда — и которые, тем не менее, подтверждены наукой. Вот самые известные парадоксы. 1. Проблема Монти Холла Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе. Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной — главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?» Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы — менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так. Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ — соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей — коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой — с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем. 2. Задача трех узников Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А? Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен — значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились. А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования. Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔. 3. Парадокс двух конвертов Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом — сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы — то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?» Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный — сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта. Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера, где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно. Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше. Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии — менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 — небольшую сумму по вашим прикидкам — стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов. 4. Парадокс мальчика и девочки Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок — мальчик. Какова вероятность того, что и второй — тоже мальчик?» Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка. Вариант 1 Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми: 1. Девочка/Девочка 2. Девочка/Мальчик 3. Мальчик/Девочка 4. Мальчик/Мальчик Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта — а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально. Вариант 2 Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок — тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½. Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось? Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором — мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

Читайте также

 27.7K
Искусство

Омар Хайям — «Притча о зеркале»

Одного мудреца спросили: — Почему бедные более приветливы и менее скупы, чем богатые? — Посмотри в окно, что ты видишь? — Вижу, как дети играют во дворе. — А теперь посмотри в зеркало. Что ты видишь там? — Себя. — Вот видишь. И окно, и зеркало — из стекла, но стоит добавить немного серебра — и уже видишь только себя…

 15.9K
Жизнь

Любите фастфуд?

Если вы являетесь любителем картофеля фри, то наверняка замечали на нём необычные пятна — к этим небольшим чёрным пятнам привыкли все поклонники быстрого питания во всём мире. Эти пятна — не что иное, как вкрапления сахара. Причина, по которой такие пятна появляются, в том, что при хранении картофеля фри в холодильнике часть картофельного крахмала превращается в сахар. Когда картофель фри готовится, высокие температуры заставляют сахар вытапливаться на поверхность, и, когда он полностью готов, последующие низкие температуры становятся причиной появления чёрных пятен на нём. Чтобы избавиться от пятен, нужно на несколько минут поместить картофель фри в воду температурой 90°С. Это приведёт к тому, что сахар равномерно распределится по всей поверхности картофеля, и ваша закуска слегка изменит цвет.

 14.7K
Интересности

10 интересных фактов о Париже

1. «Парижский синдром» — так называют психическое расстройство, проявляющееся, в первую очередь, у японских туристов. Оно выражено в депрессивном состоянии, головокружении и даже галлюцинациях, спровоцированных несоответствием идеального образа Парижа, рисуемого в фильмах и журналах, с реальным городом. 2. Прозвище «Город света» было дано Парижу не из-за электрического освещения, а благодаря проживающей здесь интеллигенции. 3. Самый старый мост в Париже, как ни странно, называется «Новым мостом» (Pont Neuf) 4. Самая посещаемая достопримечательность Парижа – это вовсе не Эйфелева башня (около. 5,5 миллионов туристов в год) и не Лувр (5 миллионов), а Диснейленд, который посещают 13 миллионов туристов в год. 5. В Париже находится наибольший процент ресторанов, награжденных мишленовскими звездами. 6. Эйфелеву башню, установленную для Всемирной выставки в 1889 году, собирались демонтировать через 20 лет после постройки. Спасла ее, в первую очередь, наступившая эпоха радио: на башню установили антенны телеграфа. А по мере возрастания туристического интереса все разговоры о сносе башни затихли окончательно. 7. Эйфелева башня в свое время отнюдь не всех приводила в восторг. Так, Александр Дюма, Ги де Мопассан, архитектор парижской оперы Шарль Гарнье, Леконт де Лиль и многие другие подписались под знаменитым протестом Эйфелевой башни, которая с их слов, якобы, уродует Париж. 8. Парижане без ума от собак: по статистике, четвероногих друзей в городе больше, чем детей! 9. В Париже воду можно пить прямо из-под крана. Система водной очистки в этом городе вне всяких похвал. 10. Схема парижского метро – одна из самых плотных в мире. Из любой точки города расстояние до станции метро не превышает полукилометра!

 12.1K
Наука

7 любопытнейших фактов о личной жизни Николы Теслы

Никола Тесла является одним из самых загадочных учёных, чьи изобретения будоражат научную общественность до сих пор. Некоторые его гениальные открытия не были поняты современниками, другие вообще загадочно исчезли, оставив после себя богатую пищу для писателей-фантастов и любителей конспирологии. Известно также, что великий изобретатель обладал экстравагантными чертами характера и необычными привычками. 1. Он никогда не спал больше двух часов в сутки Никола Тесла утверждал, что никогда не отдыхал более двух часов в сутки. Учёный основную часть своего времени проводил в лаборатории, а однажды, увлёкшись особо интересной задачей, провёл за работой 84 часа подряд, не чувствуя при этом никакой усталости. Впрочем, в этом он был не одинок: многие великие люди спали всего по несколько часов в день. 2. Он пил виски каждый день В жизни великого изобретателя был период, когда он пил виски каждый день. Учёный считал, что виски является отличным способом продления жизни. Однако потом в США ввели сухой закон, и это стало сильно мешать увлечению Теслы. Справедливости ради стоит заметить, что в последующие годы Никола Тесла отказался от всех напитков, за исключением воды и молока. 3. Он никогда не был женат В великого учёного, окружённого ореолом тайны и мистики, влюблялись десятки женщин, но ни одной из них Тесла не ответил взаимностью. Он считал, что семейные отношения станут слишком большим препятствием для научной деятельности. Хотя незадолго до смерти в одном из интервью изобретатель признался, что всё чаще думает о том, что своим отказом от женитьбы принёс слишком большую жертву науке. 4. Он не имел дома С тех пор как молодой Никола Тесла покинул дом своих родителей, учёный никогда не имел собственной недвижимости, постоянной квартиры или дома. Всё своё время он проводил в лабораториях, а в последние годы жил в различных гостиницах Нью-Йорка. 5. Он страдал от невроза навязчивых состояний При этом заболевании у человека непроизвольно появляются пугающие мысли, от которых он постоянно и безуспешно пытается избавиться с помощью столь же навязчивых и утомительных действий. Тесла панически боялся микробов, постоянно мыл руки и в отелях требовал до 18 полотенец в день. Если во время обеда на стол садилась муха, заставлял официанта принести новый заказ. Вид гладких блестящих предметов и в особенности жемчуга вызывал у него отвращение. Никому не разрешал дотрагиваться до себя и сам мог прикоснуться только к тому человеку, которого знал до этого много лет. И это только небольшой перечень странных привычек учёного. 6. Он выступал за контроль над рождаемостью Евгеника — наука о селекции людей — была очень популярна в первые десятилетия XX века, однако впоследствии была запрещена. Никола Тесла был большим поклонником этого учения и считал, что к 2100 году люди полностью возьмут под контроль рождаемость. Иметь детей можно будет только специально отобранным «племенным» родителям по утверждённому правительством заказу. Словом, всё как на хорошей животноводческой ферме. 7. Памятник Николе Тесле используется для раздачи Wi-Fi В 2013 году в Силиконовой долине был воздвигнут памятник великому изобретателю. Он был создан на добровольные пожертвования почитателей, собранные с помощью сервиса Kickstarter. Статуя используется в качестве бесплатной точки беспроводного доступа, а в её основание заложена капсула, которая будет открыта только в 2043 году. Личность Николы Теслы была загадочной и в чём-то даже зловещей. Не случайно он стал прообразом для целой плеяды киношных безумцев-учёных, которые в секретных лабораториях готовят страшное оружие для уничтожения этого мира.

 11.1K
Искусство

Хит Леджер был чемпионом Австралии по шахматам

Хит Леджер впервые попал в поле зрения общественности в 1999-м году. Он родился 4 апреля 1979-го года в Перте, Западная Австралия, в средней школе у него было два любимых хобби — готовка и игра в театре. Хит был талантлив ещё в юном возрасте, а в 17 лет он решил сесть в машину и уехать в Сидней. Свою первую настоящую роль он сыграл в низкобюджетном фильме «Остров смерти». Хит Леджер проделал долгий путь, чтобы добиться исполнения своей мечты — стать американским актёром, и, в конце концов, он им и стал: Леджер завоевал сердца некоторых подростков, сыграв в фильме «Десять причин моей ненависти», и поразил мир исполнением роли Джокера в трилогии о Бэтмене. Тем не менее, перед тем как стать актёром, он проявлял талант и в других областях — например, в шахматах. Хит Леджер был опытным шахматистом и выиграл юношеский чемпионат по шахматам в Западной Австралии, когда ему было всего десять лет.

 8.6K
Жизнь

Почему мы стучим по дереву?

Вы стучите по дереву? Высказав свои надежды или опасения, перемывая косточки близким знакомым? Невольно взгляд ищет деревянную поверхность, а не найдя такую иной раз и по лбу себе можно стукнуть. Как произошла такая традиция? Уходят корни ее в глубину веков, когда еще не было на земле ни христианства, ни ислама. Язычники в разных концах Земли поклонялись земле, воздух и.. деревьям, которым они приписывали разные мифические свойства. Дерево давало огонь, инструмент, кров над головой. И наши предки видели в деревьях неведомых могущественных духов. Исследователи Стефан Бечтель и Дебора Ааронсон убеждены, что существующая сегодня традиция стучать по дереву связана с языческой верой в то, что в нём живёт некий дух. Что же дает стук по дереву? Первая версия заключается в том, что стуком предки отгоняли злых духов, чтобы те не подслушали их сокровенных разговоров и не напакостили бы от зависти. Согласно второй версии, молящиеся прикасались к дереву, чтобы попросить о чём-нибудь живущего внутри бога. Порою стук был выражением благодарности древесному духу за «исполнение» какой-то просьбы. С веками религиозная составляющая была забыта, но ассоциация между стуком по дереву и удачей оказалась живучей. «В любом случае, таким нехитрым способом человек пытался обезопасить себя от зависти и гнева – пишет Бетчель в своей «Книге удачи». – От зависти злых духов или гнева богов по отношению к слишком самоуверенным смертным, которые приписывают удачу самим себе или забывают поблагодарить за оказанную им милость».

 6.6K
Интересности

Ранее левшей считали потомками дьявола и не посвящали в рыцари

Ещё одно подтверждение того, что население земли всегда относилось к меньшинству с толикой скепсиса и недоверия. Сейчас по самым ориентировочным подсчетам на Земле проживает около 13% левшей, от полного количества людей. В наш век толерантности, когда всех людей стараются наделить равными правами быть левшой не так страшно, но вспомнить хотя бы недавнешние времена, когда в школах всех левшей против воли переучивали писать правой рукою. Ещё более страшным отношение к левшам было в средневековые века. Рыцарь левша. Левша в переводе с французского значит неловкий, а с латыни — зловещий, тогда как правша с латыни звучит как — ловкий (dexter). Левши так же не могли стать рыцарями в средние века, т.к. их называли потомками дьявола, кроме того винтовые лестницы в замках были так устроены, что удобно сражаться на них могли только правши. Кстати левостороннее и правостороннее движение так же имеет прямую связь с левшами и правшами. Раньше люди путешествовали исключительно по левой стороне дороги, так как слева у них висела шпага и чтобы шпагу было проще выхватить, человек должен был обходить другого человека исключительно слева. Чтобы избавиться от всех этих предрассудков, революционная Франция, в частности Наполеон ввел правостороннее движение для всей Европе. США приняла свой закон о правостороннем движении примерно с той же целью, избавиться от всех связей с британским колониальным прошлым. В итоге почти весь мир имеет правосторонне движение за исключением 65 стран. Вот так, казалось бы весь мир живет по своим законам, а в итоге на многие страны повлияли одни и те же события.

 6.5K
Наука

Ученые научились подглядывать за снами

Японские исследователи из научной лаборатории в Киото утверждают, что научились угадывать, что видит в момент сна тот или иной человек. При этом они пришли к интересному выводу: оказывается, что активность в некоторых отвечающих за визуализацию областях головного мозга бодрствующего человека ничем не отличается от активности в этих же областях у спящего человека. Ученым якобы удалось расшифровать сны группы добровольцев, научившись определять, что именно снится в тот или иной момент человеку — к примеру, женщины или машины? Ученые сканировали мозг трех добровольцев мужского пола, когда они спали. Это позволило им отслеживать изменения в активности мозга, которые могли быть связаны с содержанием снов. Японцы также отслеживали характер электрических сигналов в мозге спящих мужчин, что позволяло им будить участников эксперимента как раз в тот момент, когда они начинали видеть сны. Каждый раз, когда человек просыпался, его спрашивали, что он только что видел во сне, а затем позволяли обратно засыпать. Данный опыт повторялся неоднократно на протяжении нескольких дней, пока ученым не удалось наконец собрать около двухсот отчетов от каждого добровольца. В то время как часть снов была связана с невероятными и маловероятными событиями (к примеру, встречи со знаменитыми актерами), другая часть снов изобиловала ситуациями из повседневной жизни. Из всего количества снов ученые выбрали 20 наиболее часто повторяющихся тем и визуальных образов, таких как «машина», «мужчина», «женщина» и «компьютер», и начали фиксировать все характеристики, которые соответствовали каждому образу. В итоге японским ученым удалось идентифицировать отличительные характеристики в трех ключевых регионах головного мозга, которые помогают человеку перерабатывать визуальную информацию. Исследователи также пришли к выводу, что активность в некоторых других областях головного мозга, отвечающих за специфические операции при обработке визуальной информации (к примеру, за распознавание образов), зависит от того, что именно человеку снится. Ученые создали компьютерную модель, которая способна определять, присутствуют ли в снах того или иного человека в данный момент времени те или иные образы. «Путем анализа активности мозга за девять секунд до пробуждения человека мы научились также определять, видит ли сны этот человек или нет, с точностью до 80%», — отметил руководитель исследования Юкиясу Камитани (Yukiyasu Kamitani). Ученый отметил, что в результате исследования удалось выявить специфическую активность мозга, которая соответствует определенным образам. «В этом исследовании мы смогли научиться расшифровывать информацию только об объектах определенных категорий, однако сам метод может быть использован для расшифровки более динамичных и эмоциональных снов», — отметил Камитани.

 3.6K
Жизнь

Захватывающий трюк освобождения фокусника из выброшенного с самолета ящика

Отважный фокусник из Висконсина освободился из закрытого на засовы ящика, падавшего на землю со скоростью больше 200 км/ч, и благополучно приземлился на парашюте недалеко от Чикаго. 47-летний Энтони Мартин помахал изумлённой публике и дал короткое интервью тележурналистам. Он сказал, что пережил потрясающие ощущения. Кроме того, Энтони признался, что на какое-то время оказался дезориентирован, поскольку ящик из фанеры сильно мотало из стороны в сторону, пока он расстёгивал наручники и открывал дверь. Несколько раз дверь, казалось, поддавалась, но затем снова захлопывалась. Перед началом трюка, когда самолёт набрал высоту 4000 метров, парашютисты тщательно проверили снаряжение. Затем Мартин забрался в ящик, его пристегнули наручниками к ремню на его поясе и приковали цепями внутри. Затем закрыли крышку на замки, ключей от которых не существовало. Парашютисты проверили место предполагаемого приземления и, как только всё было готово, выбросили деревянную «темницу» за борт и удерживали её во время полёта в определённом положении. Другие парашютисты в это время снимали смертельно опасный трюк на камеру. Когда до земли оставалось меньше 2000 метров, дверь открылась, Мартин сделал кульбит наружу и раскрыл парашют.

Стаканчик

© 2015 — 2024 stakanchik.media

Использование материалов сайта разрешено только с предварительного письменного согласия правообладателей. Права на картинки и тексты принадлежат авторам. Сайт может содержать контент, не предназначенный для лиц младше 16 лет.

Приложение Стаканчик в App Store и Google Play

google playapp store